Анализы ДНК на отцовство и другие виды родства в Саратове и области
г. Саратов, ул. Мичурина, 46
пн-пт 9.00-18.00, сб-вс 9.00-13.00

8(8452) 32-03-05

Преобразования графиков тригонометрических функций

Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.

п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.

Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс — с периодом π. Получаем следствие общих принципов:

При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ период второй функции уменьшается в p раз: $$ T_2=frac{T_1}{p} $$

При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ период второй функции увеличивается в p раз: $$ T_2=pT_1 $$

Например:

Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sin2x, h(x)=sinfrac{x}{2} $$ image

Период колебаний функции (g(x)=sin2x) в 2 раза меньше: (T_g=frac{2pi}{2}=pi).

Период колебаний функции (h(x)=sinfrac{x}{2}) в 2 раза больше: (T_h=2cdot 2pi=4pi).

п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=Af(x), Agt 1 $$ график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Общий принцип сжатия графиков:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=frac{1}{A}f(x), Agt 1 $$ график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.

Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:

  • умножение на параметр (Agt 1) увеличивает амплитуду колебаний в (A) раз;
  • деление на параметр (Agt 1) уменьшает амплитуду колебаний в (A) раз.

Например:

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx, g(x)=2cosx, h(x)=frac{1}{2}cosx $$ image

Умножение на (A=2) увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.

Область значений функции (g(x)=2cosx: yin[-2;2]). График растягивается по оси OY.

Деление на (A=2) уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции (h(x)=frac12 cosx: yinleft[-frac12; frac12right]). График сжимается по оси OY.

2) Теперь построим $$ f(x)=tgx, g(x)=2tgx, h(x)=frac{1}{2}tgx $$ image

В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на (A=2) служит поведение функции при (x=fracpi4). $$ fleft(fracpi4right)=tgleft(fracpi4right)=1, gleft(fracpi4right)=2tgleft(fracpi4right)=2, hleft(fracpi4right)=frac12 tgleft(fracpi4right)=frac12 $$ Аналогично — для любого другого значения аргумента x.

п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX

Общие принципы переноса по оси OX:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x+a), agt 0 $$ график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x-a), agt 0 $$ график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.

При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.

При сравнении двух тригонометрических функций (y_1=f(x)) и (y_2=f(xpm a)) говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен (pm a).

Например:

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinleft(x+fracpi4right), h(x)=sinleft(x-fracpi4right) $$ image

Функция (g(x)=sinleft(x+fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) влево по сравнению с (f(x))

Функция (h(x)=sinleft(x-fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) вправо по сравнению с (f(x))

п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY

Общие принципы переноса по оси OY:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)+a, agt 0 $$ график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)-a, agt 0 $$ график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.

Например:

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinx+1, h(x)=sinx-1 $$ image

Функция (g(x)=sinx+1) сдвинута на 1 вверх по сравнению c (f(x))

Функция (h(x)=sinx-1) сдвинута на 1 вниз по сравнению с (f(x))

п.5. Общее уравнение синусоиды

Синусоида — плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Asin(cx+d)+B $$ где

A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY

B — вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)

c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX

d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)

График (y(x)=Acos(cx+d)+B) также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.

Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.

Например:

Построим график (g(x)=3sinleft(2x+fracpi2right)-1)

По сравнению с (f(x)=sinx):

  • (A=3) — график растянут по оси OY в 3 раза
  • (c=2) — период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
  • (d=fracpi2) — начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{2cdot 2}=fracpi4) влево
  • (B=-1) — график сдвинут по оси OY на 1 вниз

п.6. Общее уравнение тангенцоиды

Tангенцоидa — плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Atg(cx+d)+B $$ где

A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY

B — вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)

c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX

d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)

График (y(x)=Actg(cx+d)+B) также называют тангенцоидой.

Например:

Построим график (g(x)=frac12 tgleft(frac{x}{2}-fracpi3right)+1)

По сравнению с (f(x)=tgx):

  • (A=frac12) — график сжат по оси OY в 2 раза
  • (c=frac12) — период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси OX
  • (d=-fracpi3) — начальная фаза отрицательная, график сдвинут на (frac{pi}{3cdot 1/2}=frac{2pi}{4}) вправо
  • (B=1) — график сдвинут по оси OY на 1 вверх

п.7. Примеры

Пример 1.Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx, g(x)=-sinx, h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для (g(x)) и (h(x)) в сравнении с (f(x)).

Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.

Для (f(x)=sin⁡x) главная арка определена на отрезке (0leq xleq pi)

Для (g(x)=-sin⁡x) главная арка определена на отрезке (-pileq xleq 0), т.е. сдвинута на π влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=g(x+pi), sin⁡x=-sin⁡(x+pi) $$ Для (h(x)=cos⁡x) главная арка определена на отрезке (-fracpi2leq xleq fracpi2), т.е. сдвинута на (fracpi2) влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=hleft(x+fracpi2right), sinx=cosleft(x+fracpi2right) $$

Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:

a) (y=sin5x)

Период синуса (2pi) уменьшается в 5 раз. Получаем: (T=frac{2pi}{5})

б) (y=cospi x)

Период косинуса (2pi) уменьшается в (pi) раз. Получаем: (T=frac{2pi}{pi}=2)

в) (y=tgfrac{x}{4})

Период тангенса (pi) увеличивается в 4 раза. Получаем: (T=4pi)

г) (y=tgleft(2x+frac{pi}{3}right))

Период тангенса (pi) уменьшается в 2 раза. Получаем: (T=fracpi2)

Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctgleft(3x+fracpi6right) $$ По сравнению с (g(x)=tg⁡x):

  • (A=2) — график растянут по оси OY в 2 раза
  • (c=3) — период меньше в 3 раза (T=fracpi3), расстояние между асимптотами (fracpi3), график сжат в 3 раза по оси OX
  • (d=-fracpi6) — начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{6cdot 3}=frac{pi}{18}) влево

Расположение нулей: $$ tgleft(3x+fracpi6right)=0Rightarrow 3x+fracpi6=pi kRightarrow 3x=-fracpi6+pi kRightarrow x =-frac{pi}{18}+frac{pi k}{3} $$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.

Расположение асимптот: $$ 3x+fracpi6nefracpi2+pi kRightarrow 3xnefracpi3+pi kRightarrow xnefracpi9+frac{pi k}{3} $$ Пересечение главной ветви с осью OY: (x=0, y=2tgfracpi6=frac{2}{sqrt{3}})

С учетом периода (fracpi3) получаем семейство дополнительных точек для построения графика (left(frac{pi k}{3}; frac{2}{sqrt{3}}right)).

Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) (sinx=sin2x) при (0leq xleq 3pi)

Ответ: 7 корней

б) (cosfrac{x}{2}=cos2x) при (-2pileq xleq 2pi)

Ответ: 7 корней

:

,

*-*

+

:

?

!

?

!

>>> mathprofi.com

15% () 5530-hihi5

:

>>>

, ,

, . , . , .

, , , . .

? — , , . , , ? , , . /, , . , , !

? , , . ! , . , , ! , , , , , ..

, , , . , , , .

, : , . , , . , .

, . , .

. . : , . , , :

. , , .

,

();

;

;

();

;

;

;

;

.

:

() () .

. :

, .

: , , .

, :

1

.

, :

, , .., , . , .

. 2 :

, . , :

2-3 :

, , .

— ! , .

2

׸ 3 :

.

: ( ).

, , .

, .

: , , .

:

3

:

2 :

, . 2 : , .

/ , , :

4

. :

.

:

() ().

, . : , ? , , :

.

: , .

( ). :

5

:

, .

, . : . 2 : . : . .

. , / . , , .

/

, ( ) . :

:

1) , ;

2) , .

6

1 :

, .

, , ( ) 2 .

:

7

( ) 2 :

, . , ( ) ( ). , ( ).

:

8

( ) :

. ! , , , , , . ( ). .

, : , , . ? , , , , // , . , :

:

1) ( ) ( ) , ).

2) ( ) (!!!) , .

9

: ( ):

1) );

2) (!!!) : ( ):

, . , .

:

10

. : . :

1) 2 : ;

2) : ;

3) (!!!) : :

, , .

, /. . , , .

() .

.

1) , .

: , , .

2) , .

: , , .

, =)

11

.

/:

2 :

, (, ) , 2, : .

2 :

, , : .

, — , , ( 1,3) . . !

, , / :

12

.

: . 2 :

, 2 , ( ).

: . , . :

, .

: , .

13

:

:

14

:

, . . , .

, , : ( ) , . .

/

.

Ƞ , ( ) . :

:

1) , ;

2) , .

15

.

, , :

:

1) () . , .

2) .

16

( ):

1) 1,5 : ( );

2) 2 : :

, :

17

:

1) : ;

2) 4 : :

, , , , , .

:

18

:

1) 2 : ;

2) : ;

3) 1 : :

, 1 . (. 7).

:

, . :

, (. ), ;

, , .

:

19 ( 10)

10 , . .

:

4) : ;

5) 3 : :

, , , :

5 3 .

, .

5 , 1 .

.. , ! , .

, — , , , , , :

20

, .

. . , , , .

, , .

. :

, . :

, . , :

:

:

, :

. :

1) : ( );

2) 2 : ( );

3) : ( ):

:

21

.

. :

(1) 1 . , .

(2) . . .

(3) . , .

(4) .

. ( ):

1) 1 : ( );

2) : ( );

3) : ( ):

, . pdf-, , . , .

, . .

. , , , , .

, , .

: : , .

22

:

, :

:

, , . . , , . ? : , .

: . :

, , (. 13).

23

, :

: , , .

: .. (, ).

, , .

: : , , , .

, 24- , =)

24

, :

, , , , :

:

! !

: , , , .

, , , , : , : . :

25

:

, , , :

, : .

, : , , . , .

? . : . : .

, , . :

26

.

=)

, , :

, ? , .

:

, :

, .

, , . =) — , , . , =)

!

:

>>>

( )

?

! —

Преобразование графиков элементарных функций

Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать с элементарными функциями, которые получили из основных с помощью добавления констант и коэффициентов. Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.

Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y = — 1 3 x + 2 3 2 + 2 , графиком которой является парабола y = x 2 , которая сжата втрое относительно О у и симметрична относительно О х , причем сдвинутую на 2 3 по О х вправо, на 2 единицы по О у вверх. На координатной прямой это выглядит так:

Геометрические преобразования графика функции

Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что график изображается функцией вида ± k 1 · f ( ± k 2 · ( x + a ) ) + b , когда k 1 > 0 , k 2 > 0 являются коэффициентами сжатия при 0 < k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 > 1 , k 2 > 1 вдоль О у и О х . Знак перед коэффициентами k 1 и k 2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по О х и по О у .

Определение 1

Существует 3 вида геометрических преобразований графика:

  • Масштабирование вдоль О х и О у . На это влияют коэффициенты k 1 и k 2 при условии не равности 1 , когда 0 < k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у , а растягивается по О х , когда k 1 > 1 , k 2 > 1 , то график растягивается по О у и сжимается по О х .
  • Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака « — » перед k 1 симметрия идет относительно О х , перед k 2 идет относительно О у . Если « — » отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
  • Параллельный перенос (сдвиг) вдоль О х и О у . Преобразование производится при наличии коэффициентов a и b неравных 0 . Если значение a положительное, до график сдвигается влево на | а | единиц, если отрицательное a , тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси О у , что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном — вниз.

Степенная функция

Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.

Пример 1

Преобразовать y = x 2 3 и построить график функции y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 .

Решение

Представим функции таким образом:

y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 = — 1 2 · 8 x — 1 2 2 3 + 3 = — 2 x — 1 2 2 3 + 3

Где k 1 = 2 , стоит обратить внимание на наличие « — » , а = — 1 2 , b = 3 . Отсюда получаем, что геометрические преобразования производятся с растяжения вдоль О у вдвое, отображается симметрично относительно О х , сдвигается вправо на 1 2 и вверх на 3 единицы.

Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что

при растягивании вдвое вдоль О у имеем, что

Отображение, симметричное относительно О х , имеет вид

а движение вправо на 1 2

движение на 3 единицы вверх имеет вид

Показательная функция

Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах.

Пример 2

Произвести построение графика показательной функции y = — 1 2 1 2 ( 2 — x ) + 8 .

Решение.

Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что

y = — 1 2 1 2 ( 2 — x ) + 8 = — 1 2 — 1 2 x + 1 + 8 = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8

Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y = 1 2 x :

y = 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 1 2 x → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8

Получаем, что исходная показательная функция имеет вид

Сжимание вдвое вдоль О у дает

Растягивание вдоль О х

Симметричное отображение относительно О х

Отображение симметрично относительно О у

Сдвигание на 8 единиц вверх

Логарифмическая функция

Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y = ln ( x ) .

Пример 3

Построить функцию y = ln e 2 · — 1 2 x 3 при помощи преобразования y = ln ( x ) .

Решение

Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:

y = ln e 2 · — 1 2 x 3 = ln ( e 2 ) + ln — 1 2 x 1 3 = 1 3 ln — 1 2 x + 2

Преобразования логарифмической функции выглядят так:

y = ln ( x ) → y = 1 3 ln ( x ) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln — 1 2 x → y = 1 3 ln — 1 2 x + 2

Изобразим график исходной логарифмической функции

Производим сжимание строе по О у

Производим растягивание вдоль О х

Производим отображение относительно О у

Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем

Для преобразования графиков тригонометрической функции необходимо подгонять под схему решения вида ± k 1 · f ( ± k 2 · ( x + a ) ) + b . Необходимо , чтобы k 2 приравнивался к T k 2 . Отсюда получаем, что 0 < k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х , при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Преобразования y = sin x

Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y = sin x .

Пример 4

Построить график y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 с помощью преобразований функции y=sinx.

Решение

Необходимо привести функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Для этого:

y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 = — 3 sin 1 2 ( x — 3 ) — 2

Видно, что k 1 = 3 , k 2 = 1 2 , a = — 3 , b = — 2 . Так как перед k 1 имеется « — » , а перед k 2 — нет, тогда получим цепочку преобразований вида:

y = sin ( x ) → y = 3 sin ( x ) → y = 3 sin 1 2 x → y = — 3 sin 1 2 x → → y = — 3 sin 1 2 x — 3 → y = — 3 sin 1 2 ( x — 3 ) — 2

Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y = sin ( x ) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T = 2 π . Нахождение максимума в точках π 2 + 2 π · k ; 1 , а минимума — — π 2 + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .

Производится растягивание по О у втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T = 2 π — это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы — — π 2 + 2 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

При растягивании по О х вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Максимумы переходят в π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы — в — π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

Изображение производится симметрично относительно О х . Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Переход максимума выглядит как — π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , а минимума — π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки — π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , минимумов — π + 3 + 4 π · k ; — 5 , k ∈ Z .

На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.

Преобразование функции y = cos x

Рассмотрим подробное преобразование функции y = cos x .

Пример 5

Построить график функции y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 при помощи преобразования функции вида y = cos x .

Решение

По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Тогда получаем, что

y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 = 3 2 cos ( — 2 ( x — 1 ) ) + 1

Из условия видно, что k 1 = 3 2 , k 2 = 2 , a = — 1 , b = 1 , где k 2 имеет « — » , а перед k 1 он отсутствует.

Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:

y = cos ( x ) → y = 3 2 cos ( x ) → y = 3 2 cos ( 2 x ) → y = 3 2 cos ( — 2 x ) → → y = 3 2 cos ( — 2 ( x — 1 ) ) → y = 3 2 cos — 2 ( x — 1 ) + 1

Пошаговое преобразование косинусоиды с графической иллюстрацией.

При заданной графике y = cos ( x ) видно, что наименьший общий период равняется T = 2 π . Нахождение максимумов в 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , а минимумов π + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .

При растягивании вдоль О у в 3 2 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 3 2 раза. T = 2 π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов в π + 2 π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

При сжатии вдоль О х вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число T = 2 π k 2 = π . Производится переход максимумов в π · k ; 3 2 , k ∈ Z ,минимумов — π 2 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

Симметричное отображение относительно О у . Так как график нечетный, то он не будет изменяться.

При сдвигании графика на 1 . Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T = π . Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов — π 2 + 1 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T = π и не изменен. Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , минимумов в π 2 + 1 + π · k ; — 1 2 , k ∈ Z .

Преобразования функции косинуса завершено.

Преобразования y = tgx

Рассмотрим преобразования на примере y = t g x .

Пример 6

Построить график функции y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 при помощи преобразований функции y = t g ( x ) .

Решение

Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b , после чего получаем, что

y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3

Отчетливо видно, что k 1 = 1 2 , k 2 = 2 3 , a = — π 2 , b = π 3 , а перед коэффициентами k 1 и k 2 имеется « — » . Значит, после преобразования тангенсоиды получаем

y = t g ( x ) → y = 1 2 t g ( x ) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = — 1 2 t g 2 3 x → → y = — 1 2 t g — 2 3 x → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 → → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3

Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.

Имеем, что исходный график — это y = t g ( x ) . Изменение положительного периода равняется T = π . Областью определения считается — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Сжимаем в 2 раза вдоль О у . T = π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Растягиваем вдоль О х в 3 2 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T = π k 2 = 3 2 π . А область определения функции с координатами — 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , меняется только область определения.

Симметрия идет по сторону О х . Период не изменится в этот момент.

Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение О х и О у , тогда преобразуем до исходной функции.

При движении вправо на π 2 видим, что наименьшим положительным периодом является T = 3 2 π . А изменения происходят внутри области определения — π 4 + 3 2 π · k ; 5 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z .

При сдвигании графика на π 3 получаем, что изменение области определения отсутствует.

Преобразование тангенса завершено.

Тригонометрическая функция вида y = a r c cos x

Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y = a r c cos x .

Пример 7

Построить график функции y = 2 a r c sin 1 3 ( x — 1 ) при помощи преобразования y = a r c cos x .

Решение

Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций a r c sin x + a r c o cos x = π 2 . Значит, получим, что a r c sin x = π 2 — a r c cos x .

Видно, что y = a r c cos x → y = — a r c cos x → y = — a r c cos x + π 2 .

Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.

График, данный по условию

Производим отображение относительно О х

Производим движение вверх на π 2 .

Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.

Видно, что k 1 = 2 , k 2 = 1 3 , a = — 1 , b = 0 , где отсутствует знак « — » у k 1 и k 2 .

Отсюда получаем, что преобразования y = a r c sin x примет вид:

y = a r c sin ( x ) → y = 2 a r c sin ( x ) → → y = 2 a r c sin 1 3 x → y = 2 a r c sin 1 3 ( x — 1 )

Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.

График y = a r c sin x имеет область определения вида x ∈ — 1 ; 1 , тогда интервал y ∈ — π 2 ; π 2 относится к области значений.

Необходимо растянуть вдвое по О у , причем область определения останется неизменной x ∈ — 1 ; 1 , а область значений y ∈ — π ; π .

Растягивание по О х строе. Происходит расширение области определения x ∈ — 3 ; 3 , но область значений остается неизменной y ∈ — π ; π .

Производим сдвигание вправо на 1 , причем область определения становится равной x ∈ — 2 ; 4 . Без изменений остается область значений y ∈ — π ; π .

Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.

Литература:

  1. Pund A. U., Shandge R. S., Pote A. K. Current approaches on gastroretentive drug delivery systems. Journal of Drug Delivery and Therapeutics. 2020; 10(1): 139–146. DOI: 10.22270/jddt.v10i1.3803.
  2. З.С. Смирнова, Л.М. Борисова, М.П. Киселева и др. Противоопухолевая активность соединения ЛХС-1208 (N-гликозилированные производные индоло[2,3-а]карбазола) // Российский биотерапевтический журнал 2010. № 1. С. 80.
  3. ОФС.1.2.1.2.0003.15 Тонкослойная хроматография // Государственная фармакопея, XIII изд.
  4. https://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/preobrazovaniya-grafikov-trigonometricheskih-funkcij/.
  5. https://www.mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html.
  6. https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/preobrazovanie-grafikov-elementarnyh-funktsij/.
  7. М.П. Киселева, З.С. Шпрах, Л.М. Борисова и др. Доклиническое изучение противоопухолевой активности производного N-гликозида индолокарбазола ЛХС-1208. Сообщение I // Российский биотерапевтический журнал. 2015. № 2. С. 71-77.
  8. Мустафин Р. И., Протасова А. А., Буховец А. В., Семина И.И. Исследование интерполимерных сочетаний на основе (мет)акрилатов в качестве перспективных носителей в поликомплексных системах для гастроретентивной доставки. Фармация. 2014; 5: 3–5.
  9. М.П. Киселева, З.С. Шпрах, Л.М. Борисова и др. Доклиническое изучение противоопухолевой активности производного N-гликозида индолокарбазола ЛХС-1208. Сообщение II // Российский биотерапевтический журнал. 2015. № 3. С. 41-47.
  10. Мустафин Р. И., Буховец А. В., Протасова А. А., Шайхрамова Р. Н., Ситенков А. Ю., Семина И. И. Сравнительное исследование поликомплексных систем для гастроретентивной доставки метформина. Разработка и регистрация лекарственных средств. 2015; 1(10): 48–50.

Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации